Inéquation f(x) < g(x) : résolution graphique

Propriété

On se place dans un repère du plan. On considère :

• une fonction \(f\) définie sur un ensemble \(D_f\) et \(C_f\) sa courbe représentative dans ce repère ;
  
• une fonction \(g\) définie sur un ensemble \(D_g\) et \(C_g\) sa courbe représentative dans ce repère.
  

Alors,

• les solutions de l'équation \(f(x)<g(x)\) (respectivement \(f(x)>g(x)\) sont les abscisses des éventuels points de la courbe \(C_f\) situés strictement en dessous (respectivement au-dessus) de la courbe \(C_g\) ;
  
• les solutions de l'équation \(f(x)\leq g(x)\) (respectivement \(f(x)\geq g(x)\)) sont les abscisses des éventuels points de la courbe \(C_f\) situés sur et en dessous (respectivement au-dessus) de la courbe \(C_g\).
  

Exemple

On se place dans un repère du plan. Soit \(f\) et \(g\) deux fonctions définies sur \(\mathbb{R}\).
Soit \(C_f\) et \(C_g\) leurs représentations graphiques respectives.

On veut résoudre graphiquement l'inéquation \(f(x)<g(x)\).
On cherche les points de \(C_f\) situés strictement en dessous de \(C_g\) : ces points correspondent à la partie de la courbe en jaune.
Les solutions de l'inéquation sont les abscisses de ces points.
L'inéquation \(f(x)<g(x)\) admet donc pour solution l'intervalle en vert : \(]-3~;~2[\).
\({S=]-3;2[}\)